Théoriquement, dans votre phrase on accordera au singulier.

Malgré tout, je ne comprends pas ce que l’on appelle la « sécurité » d’un médicament.
De plus, pourquoi ne pas utiliser « et » à la place de « ou »  ?

Ma suggestion :
La fiabilité et l’efficacité du médicament sont dues au fait qu’il s’agit d’une substance naturelle . 

Je laisserais sécurité (pas d’effets indésirables) qui n’est pas la même chose que fiabilité (qui soigne bien).

Cathy, vous avez conseillé le singulier. Or vous accordez au pluriel, ce que j’aurais fait aussi. Petite inattention.

Phil souhaite connaître aussi  la règle de l’accord du verbe joints par ou :
« Un classique à vous proposer : l’accord avec ou. »
[…]
« J’ai vraiment du mal avec ce type d’accord. »

La voici :

1. L’accord se fait au pluriel quand l’idée d’addition domine.
Le cyclisme ou la lecture occupaient mes vacances.

2. L’accord se fait avec le sujet le plus rapproché quand il y a disjonction, opposition, exclusion ou si le le second sujet englobe le premier.
Olivier ou Joël sera le capitaine de l’équipe (il n’y a qu’un seul capitaine par équipe).
La douceur ou la violence en viendra à bout. (Idée d’opposition.)
Ni moi ni personne ne  pourrait accomplir cette tâche. Un ou deux exemplaires suffiront.  (Le 2e sujet recouvre le 1er.)

La réponse est à chercher dans le sens.
Le (et + pluriel) est ici assez évident.
Le (ou + singulier) laisse entendre qu’un terme est une déclinaison de l’autre, c’est alors acceptable théoriquement mais peu précis, il y a un vrai problème de sens. Très intéressant en littérature, très inapproprié dans une notice pharmaceutique.
Le (ou + pluriel) signifie (l’un comme l’autre). Ce n’est ni une alternative ni une addition. On utilise cette forme en mode hypothétique ou interrogatif (l’un ou l’autre peuvent entraîner…, l’un ou l’autre sont-ils nocifs ?) mais pas dans une phrase affirmative se voulant factuelle.
Votre phrase avec (ou) n’est donc pas sauvable, ni avec le singulier ni avec le pluriel.
Il est finalement assez rare qu’un groupe nominal avec (ou) puisse servir de sujet.

Joëlle,
C’est « efficacité » qui soigne bien , comme vous dites.
« Fiabilité » signifie qui est fiable, en lequel on peut avoir confiance, et donc qui est sûr.
Merci à POMPON :
Joëlle, en effet grosse inattention de lecture de votre part, relisez ce que j’ai écrit :
« ou » + singulier, « et » + pluriel !!!

La sécurité et l’efficacité étant deux caractéristiques très différentes, il faut à coup sûr le pluriel. Le « ou » est inclusif.
La substance naturelle pourrait donner des gages de sécurité mais pas d’efficacité et inversement.