On voit en effet toutes les combinaisons pour ce couple, certains en ayant même deux pour distinguer les épreuves modernes de celles de l’Antiquité. Même les ouvrages de référence s’y emmêlent les anneaux.
La norme typographique habituelle devrait pourtant suffire : majuscule au substantif, minuscule à l’adjectif qui suit, donc « Jeux olympiques », avec la mention « modernes » ou « antiques » si besoin.
S’il n’y a pas de risque de confusion, la mention abrégée « les Jeux » peut aussi se justifier.
NB On écrira de même les Jeux floraux ou, pour rester dans le même domaine grec, les Jeux isthmiques (Corinthe), Jeux néméens (Némée) ou Jeux pythiques (Delphes).