L’une est du singulier
L’autre est aussi du singulier.

La conjonction de coordination « ou » est employée ici dans un sens exclusif : une date exclut l’autre. Donc, il n’y aura qu’une date à proposer : le singulier est obligatoire.

Pouvez-vous me proposer l’une ou l’autre date pour que nous nous rencontrions ? 
(il faut un sujet dans la subordonnée car celui qui fait l’action est différent de celui de la principale).

Bonjour,
Au cours de ma longue carrière  de professeur de mathématiques j’ai toujours mis en garde  mes élèves sur l’emploi de  la conjonction  « ou ».
La conjonction « ou » peut être prise au sens inclusif ou au sens exclusif

Règle d’emploi:
Après deux noms  au singulier unis par ou, le verbe se met au singulier  ou au pluriel,  selon que l’un des termes exclut l’autre, ou que la conjonction «  ou » a un sens voisin de la conjonction«  et ».

Très souvent, le contexte suffit  à indiquer quel est le sens voulu et il est assez facile de marquer sans ambiguïté et sans lourdeur que l’on désire un « ou » exclusif par l’utilisation de formules comme « tu prends la glace ou bien la tarte », « tu prends soit la glace soit la tarte », « tu prends au choix la glace ou la tarte ».

Dans votre exemple, on peut écrire: « Pouvez-vous me proposer l’une ou  bien l’autre date pour se voir? » *

Ici il s’agit effectivement d’un ou exclusif comme le précise à juste titre joëlle,  donc date est au singulier.

* N e pas écrire ni dire – se voir – , mais  – nous voir –
Il serait préférable d’écrire :
Pouvez-vous me proposer l’une ou bien l’autre date pour notre prochain rendez-vous.