Bonjour.
Il s’agit de l’accord du participe passé suivi d’un infinitif.
La règle veut que le participe passé s’accorde avec le COD, si celui-ci précède le verbe et fait l’action exprimée par l’infinitif.
Le directeur a autorisé qui ? : l‘institutrice, qui est donc le COD, placé avant le verbe.
Est-ce que c’est l’institutrice qui s’absente ? oui.
Il y a donc accord : « l’institutrice que le directeur a autorisée à s’absenter… »
Cordialement

Un grand merci pour votre réponse rapide.