Les autorités les ont laissés libres de rester chez eux
Ici le verbe laisser introduit un adjectif attribut (libres) du COD (les).
« De rester chez eux » est un complément de cet adjectif qui ne dépend pas du verbe laisser.

==> « laisser » n’est pas ici un semi-auxiliaire comme dans : Les autorités les ont laissé rentrer par exemple.
En changeant de verbe attributif  :
Les autorités les ont voulus libres – les ont rendus libres – les ont laissés libres
L’accord se fait à chaque fois

En changeant le complément de l’adjectif (autre qu’un verbe à l’infinitif) :
Ils les ont laissés libres comme l’air/ ils les ont laissés libres de leur personne

Si l’on suit les recommandations du Conseil supérieur de la langue française de 1990 (nouvelle orthographe), on n’accorde plus les participes « fait » et « laissé » suivis immédiatement d’un infinitif.