Tout d’abord, la règle.

Le deux-centième (1/200) : ici, le numéral est employé comme nom, deux-centième est un nom, le trait d’union est de rigueur : 
le  « deux-centième ».
Je n’aurai jamais le deux-centième de sa patience.
Ici, centième est au singulier car il forme le nom composé  
« deux–centième » :
un « deux-centième ».
On a  la structure    article    +               nom
                                               le                   deux-centième

Les quatre centièmes (4/100) : ici, centièmes est un nom précédé d’un adjectif (numéral) (pensez à « les  jeunes  premiers » : les  cinq  centièmes).
Les cinq centièmes de la population ont été touchés.
Centième est au pluriel car c’est un nom précédé d’un adjectif, on accorde.
On a la structure          article        +         adjectif         +            nom
                                                    les                         quatre                  centièmes

Maintenant, essayons de comprendre, mathématiquement.

1 000 x 2/100 = 20 : on calcule ici les deux centièmes de mille [deux centièmes, soit  2/100], deux centièmes est une fraction, or pas de trait d’union dans les fractions, et centième  est au pluriel [les deux centièmes].

1 000 x 1/200 = 5 : ici, on calcule le deux-centième de mille [deux-centième, soit 1/200], deux-centième n‘est pas une fraction (c’est un nom composé), d’où la présence d’un trait d’union, et centième se met au singulier.

Enfin, une astuce :

Généralement, quand l’article qui précède est au singulier, il y a un trait d’union, et « centième » est au singulier.
Cette pandémie n’a pas même touché le cinq-centième de la population.
Ce qui est sûr, c’est que je n’aurai jamais le deux-centième de sa patience.
Le deux-centième de mille est égal à cinq.
Ils vendent ces articles au cinq-centième de leur prix.
Il faudrait que chacun consacre le deux-centième de son salaire à soutenir une œuvre.
Le deux-centième de sa fortune nous suffirait pour vivre jusqu’à la fin de nos jours.
Vous faites généreusement don du cinq-centième de votre salaire aux bonnes œuvres.
Il faut bien avoir à l’esprit que « deux-centième », par exemple, est un nom.

Généralement, quand l’article qui précède est au pluriel, il n’y a pas de trait d’union, et « centième » est au pluriel.
Calculer les deux centièmes de mille n’est pas difficile, il faut répondre vingt.
Ce candidat n’a rassemblé sur son nom que deux centièmes des votants (2/100).
Les cinq dixièmes de la population ont été touchés.
Que pourrions-nous faire avec les trois centièmes de cette somme ?
Elle met de côté les deux dixièmes de ce qu’elle gagne.
Avec seulement deux centièmes des votants dans son camp, ce candidat n’a aucune chance.
Il faut bien avoir à l’esprit que « quatre centièmes », par exemple, est une fraction, d’où l’absence de trait d’union, seul « centièmes » est un nom.

Un petit mot sur « deux cents » et sur « le deux centième candidat » : jamais de trait d’union.
C’est aujourd’hui la deux centième représentation de cette pièce de théâtre.
(Exemples tirés du Projet Voltaire)

Je n’ai plus le texte exact du niveau Excellence, mais la difficulté réside dans la bonne compréhension de la valeur exprimée. Il faut se garder de confondre fraction et dénominateur : les deux centièmes (2/100 = 2 %), un deux-centième (1/200 = 0,5 %).
On doit donc en priorité identifier le substantif, nom isolé ou composé avec trait(s) d’union.

Bonjour Youcef.

En pratique, retenez qu’il n’y a pas de trait d’union :
– dans la numérotation : la deux centième page (200°)
– entre le numérateur et le dénominateur d’une fraction : les deux centièmes de la population (2/100) (deux et cent, non liés par un trait d’union, sont placés de chaque côté de la barre de fraction)

Le trait d’union relie les adjectifs numéraux cardinaux situés du même côté de la barre de fraction et qui constituent soit le numérateur soit le dénominateur :
– le deux-centième = 1/200 (deux et cent sont liés par un trait d’union. Deux cents est situé du même côté de la barre de fraction)
Dans cet exemple, le déterminant permet aussi de distinguer les deux fractions  :
– LES deux centièmes = 2/100 (car l’accord se fait avec le numérateur)
– LE deux-centième = 1/200

– les vingt-cinq centièmes = 25/100 (vingt et cinq sont liés par un  trait d’union et ne peuvent être dissociés, ils sont situés du même côté de la barre de fraction. Ici 25 est le numérateur)
– les vingt cinq-centièmes = 20/500 (cinq et cent sont liés par le trait d’union et sont donc du même côté de la barre de fraction. Ici 500 est le dénominateur)

Ce n’est pas une explication grammaticale que je vous livre mais peut-être un moyen utile de ne plus commettre d’erreurs.

Je tiens à remercier très sincèrement les personnes qui ont pris le temps de répondre à ma question posée ce jour.

Votre disponibilité et votre réactivité rendent vraiment ce site merveilleux et incontournable.

Bon week-end à tous !