Lasse est un adjectif, probablement mis en apposition, mais on n’a pas la fin de la phrase.
de bercer : complément de l’adjectif.

Lasse de bercer sa poupée elle la dépose sur le lit.
Voici une phrase complète.
Voyez ce qui se passe si le sujet est masculin :
Las de bercer sa poupée, il la dépose sur le lit.

Vous vous demandez si « lasse » est un verbe. Le verbe « lasser » j’imagine.  Ce verbe signifie « fatiguer ».
Je suppose que le sujet serait « elle » : donc « elle » fatiguerait sa poupée ? aucun sens ! même le sens vous montre que « lasse » ne peut être verbe.
D’ailleurs, « elle » est déjà sujet de déposer
Faisons autre chose : mettons la phrase au passé : lassa de bercer sa poupée elle la déposa sur le lit : encore une fois : aucun sens !
==> Le verbe a un sujet – le verbe se conjugue
==> l’adjectif se rapporte à un nom ou à un pronom il varie en singulier ou pluriel + féminin ou masculin
==> un adjectif ne peut être que : épithète, apposé, ou attribut. Jamais il n’est complément.
==> Seul le nom peut avoir la fonction de complément *

===> lasse/las est adjectif et se rapporte au pronom « elle » (sa fonction est de lui être apposé)

*je simplifie mais c’est ici nécessaire

Un conseil : revoyez ce que sont les différentes natures de mots (on dit aussi « classes de mots »).