Les deux formules n’ont pas exactement le même sens.

Laisser tomber a un sens littéral qui signifie à peu près lâcher un objet qui, par conséquent, tombe :
Elle tenait le vase pour l’observer de près, et par inadvertance, elle l’a laissé tomber.

Il a un autre sens, figuré celui-ci et qui est très fréquemment employé (un peu familier) : abandonner.
Son ami l’a laissé tomber alors qu’il avait vraiment besoin d’aide. 
Découragée et parce que son interlocuteur semblait ne rien comprendre, elle laissa tomber et changea de conversation.

Faire tomber implique souvent une intention, marque  plus ou moins une sorte de responsabilité :
En se précipitant sur lui, il le fit tomber.
En époussetant le vase, je l’ai fait tomber par inadvertance.

Faire et laisser sont des semi-auxiliaires (c’est à dire qu’ils introduisent un verbe à l’infinitif en apportant du sens).
Ils ont un sens différent !

Laisser : ne pas empêcher de, permettre de.
Faire : être cause que,  obtenir que, aboutir à ce que
TLF

Les locutions sont proches et appartiennent toutes les deux au mode factitif (ou causatif) qui exprime l’action d’un agent sur un autre.
En complément des éléments donnés par Tara dans sa réponse, on pourrait résumer la différence comme suit :
– faire + infinitif exprime la cause directe : il fait tomber le vase.
– laisser + infinitif exprime la continuité d’un mouvement déjà amorcé : il laisse tomber le vase (qui tombait déjà).
Les deux actions sont en général faciles à distinguer, mais il peut aussi y avoir un doute dans certainessituations. On peut faire entrer le soleil ou laisser entrer le soleil dans une pièce