Eh bien c’est une question de point de vue, Iluminati!
Pour être plus précis cela dépend du thème choisi : de quoi est-on en train de parler lorsqu’on choisit l’un ou l’autre ? Ou encore : de quoi veut-on parler prioritairement : du fait de prendre sa douche ou du fait de chanter?
Deux petits exemples en contexte :
Je reviens d’une randonnée en montagne. De retour à la maison, je me rends tout droit dans la salle de bains : je me douche en chantant…
Aujourd’hui j’ai le cœur en fête, je fredonne en faisant un peu de rangement, je chante en me douchant…

Cependant, on pourrait fort bien avoir :
Je reviens d’une randonnée en montagne. De retour à la maison, je me rends tout droit dans la salle de bains; je chante en me douchant…
Aujourd’hui j’ai le cœur en fête, je fredonne en faisant un peu de rangement ; je me douche en chantant…

Auquel cas, simplement, il y a glissement d’un thème sur un autre (et voyez-vous, on peut très bien alors placer un point-virgule pour souligner ce changement de thème).

En l’occurrence, l’inversion est en effet possible, mais ce n’est pas toujours le cas (l’astérisque indique que la phrase n’est pas acceptable ; les points d’interrogation l’acceptabilité plus que douteuse) :

Je me coupe en me rasant
* Je me rase en me coupant

Si dans ce cas l’inversion n’est pas possible, c’est parce que le gérondif a une valeur causale, et que la cause précédant forcément la conséquence, il n’est pas possible d’inverser la succession des évènements.

Avec chanter et doucher, il n’y a pas de relation causale, simplement une concomitance des deux actions ; cependant, si l’inversion est possible, le sens est modifié,  en plus de la différence de focalisation indiqué par Tara, dans (1) le gérondif donne un cadre temporel, alors qu’en (2), une simple concomitance.

(1) Je chante en me douchant.
= Quand je me douche, je chante.

(2) Je me douche en me chantant
= ??? Quand je chante, je me douche.

Ah mais oui ! cette inversion n’est pas systématiquement valable.
Votre remarque sur le changement de sens est fine. Mais en 1 on peut avoir soit un cadre temporel, soit concomitance. N’est-ce pas ? En 2 il est en effet fort peu probable qu’on ait un repère temporel (sauf à imaginer … je ne sais quoi).