La phrase est un peu bancale en effet. Je vous suggère plutôt :
Je me permets de vous écrire / de revenir vers vous pour savoir si une date a finalement pu être fixée avec Peter pour une troisième entrevue.
Ou bien
si une date a pu être fixée pour (une troisième entrevue) un troisième entretien avec Peter .
À noter que l’emploi de « contact / contacter » est fort déconseillé dans ce sens voir ICI

Merci Cathy et bonne journée.

Je suis étonnée de la remarque de Joëlle en commentaire de ma réponse : « revenir vers vous pour un écrit me semble très contestable. »
Ah bon ? Pourquoi ?
La tournure me semble pourtant tout à fait appropriée, et elle est d’ailleurs employée très couramment, que ce soit pour un courrier ou pour un appel téléphonique.
C’est l’image qui compte, même si on ne revient pas physiquement vers l’interlocuteur.
Comme dans la tournure « revenir sur le sujet », par exemple.

D’ailleurs, voici ce que l’on trouve dans le dictionnaire de l’Académie :
Expr. fig. Revenir à la charge, réitérer ses démarches, ses requêtes, ses reproches.
Je reviens vers vous, formule par laquelle on reprend contact avec un interlocuteur (cette formule est à éviter en dehors de la correspondance administrative et commerciale). 
Avec le pronom adverbial y. C’est bon pour cette fois, mais n’y revenez pas ! ne recommencez pas.

Il est vrai qu’il s’agit d’un calque d’une tournure anglaise, mais dans le cas qui nous concerne justement (correspondance administrative et commerciale), cette tournure est tout à fait appropriée.

À ce propos je trouve dommage d’écrire en commentaire une réflexion importante, et qui peut intéresser tout le monde… à commencer par Xalef et moi, car comme vous le savez, nous ne sommes pas avisés des commentaires postés.