Bonjour,
Théoriquement l’adjectif possessif varie en personne avec le possesseur. On devrait donc écrire :dans une famille pour qui le mépris et la maltraitance font partie de son quotidien.
Mais la famille, le possesseur, forme un ensemble hétérogène comprenant les parents et les enfants. Pour cela, le recours au possessif singulier peut choquer.
Je pense qu’il ne faut pas utiliser de possessif dans cette phrase : dans une famille pour qui le mépris et la maltraitance font partie du quotidien.

La vie …de cette petite fille, dans une famille où le mépris et la maltraitance font partie du quotidien.

Ne pas indiquer de possessif.
je ne dirais pas que l’on subit une vie…

Bonjour,

Pour ma part, il y a effectivement « répétition » du possessif.

« Dans une famille  » implique que ce qui va suivre est une possession ou une composante de la famille.

Vous n’écririez pas :

« Dans une famille bienveillante, son chien est choyé » ni « Dans une famille ouvrière, son quotidien est difficile » mais vous écririez
« Dans une famille bienveillante, le chien est choyé »  et  « Dans une famille ouvrière, le quotidien est difficile ».

Privilégiez donc  : « …dans une famille pour qui le mépris et la maltraitance font partie du quotidien. »