Il ne faut pas dire « Ce n’est pas d’argent dont ont besoin ces gens… « 
Oui, vous avez raison : « de » et « dont » sont redondants.

De même, comme on l’entend souvent : ce n’est pas de cela dont je parle==> correction : ce n’est pas de cela que je parle.

Aucune de vos deux propositions ne propose un parallélisme rigoureux entre les deux termes de l’alternative.

(1). Analyse.

a) Il veut :
a1) — mon aide –> il veut mon aide
a2) — de l’argent –> il veut de l’argent
b) Il a besoin de :
b1) — mon aide –> il a besoin de mon aide
b2) — de l’argent –> il a besoin de de l’argent
Les trois premières phrases sont correctes, la quatrième est logique mais ne se dit pas, on supprime un des deux « de » (je n’ai jamais su lequel) et l’article. Cette suppression d’un des deux mots homonymes, bien qu’ils soient tous les deux justifiés et jouent des rôles syntaxiques différents, le premier participant à l’expression « besoin de » et le deuxième participant à un déterminant partitif, ainsi que de l’article défini, porte probablement un nom. Mais il n’y a aucune redondance ni aucune raison syntaxique pour transformer « de de l' » en « d' ». C’est peut-être le mélange d’une haplologie (suppression d’un « de ») et d’une contraction.
Il est tout à fait normal de se demander si on ne peut pas conserver les deux « de », car cela serait après tout logique quand on associe une construction en « de » et un partitif en « de », sans aucun pléonasme. Votre question est très différente du bête choix à faire entre « c’est cela dont j’ai peur » et « c’est de cela que j’ai peur ».

(2). Utilisation sans crainte de redondance

Quand « de l’argent » ne suit pas immédiatement « besoin de », il n’y a aucune raison de supprimer un « de » ou un « dont », et il n’y a aucune redondance à utiliser chaque mot pour ce qu’il vaut.
— C’est de Reims que je viens = ok
— C’est de Reims dont je viens = incorrect, redondance
— C’est de l’argent que je veux = ok
— C’est de l’argent qu’il me faut = ok
— C’est de l’argent dont j’ai besoin = ok, aucune redondance, mais un « de partitif » et un « dont » mis pour besoin « de ».
Ainsi ces phrases sont correctes en mettant en parallèle le partitif « de l’argent » et l’indéfini « un accompagnement », même en présence d’un « dont » :
— Que préférez-vous, de l’argent ou un accompagnement ?
— C’est de l’argent ou un accompagnement que vous avez demandé ?
— C’est de l’argent ou un accompagnement dont vous avez besoin ?
— Ce n’est pas de l’argent mais un accompagnement dont j’ai besoin.
— Ce n’est pas de l’argent dont j’ai besoin, c’est un accompagnement.
— Ce dont ces gens ont besoin, ce n’est pas de l’argent, mais un accompagnement.
— C’est un accompagnement dont ont besoin ces gens.
— Ce n’est pas de l’argent dont ont besoin ces gens, mais un accompagnement.
Ça peut faire bizarre à l’oreille (on peut trouver alternativement qu’il y a un « de » en trop devant « argent », ou au contraire qu’il manque un « de » devant « accompagnement »), mais c’est bien construit, c’est syntaxiquement correct. Et si j’ai multiplié les exemples, c’est pour vous convaincre que le partitif « de » et le « dont » dérivé de la préposition « de » ne sont pas du tout incompatibles.

(3). Parallèle non formel

Maintenant, en revenant au (1), j’ignore pourquoi « [besoin de] [de l’argent] » devient « [besoin d’argent] », et je ne saurais pas dire comment cela affecte le sens de faire du mot « argent » un simple complément du nom, mais cela impose le parallèle avec un autre simple complément du nom qualificatif. Il n’y a pas de parallélisme formel entre « besoin d’argent » et « besoin d’un accompagnement ».
Si on peut mettre en parallèle « mon argent » avec « mon accompagnement » (deux définis), si on peut mettre en parallèle « de l’argent » avec « un accompagnement » (deux indéfinis), on doit mettre en parallèle deux noms avec leur complément du nom construit symétriquement : « besoin d’argent » et « besoin d’accompagnement ».
On peut donc éventuellement dire :
— Ce n’est pas d’argent qu’ont besoin ces gens mais d’accompagnement psychologique.
Mais on perd beaucoup en sens en supprimant le déterminant indéfini du mot « accompagnement » (qu’est-ce que de l’accompagnement ?).
Je crois deviner que le sens qui vous convient est au point (2) ci-dessus, établissant un parallèle entre « de l’argent » et « un accompagnement psychologique« . C’est là qu’il vous faut trouver la phrase qui vous convient. Sinon, toute autre construction est possible si elle respecte le parallélisme :
— Ce qu’il faut leur proposer, ce n’est pas de l’argent, mais un accompagnement.
— Ce dont je parlais tout à l’heure et que je souhaite leur proposer, ce n’est pas de l’argent, mais un accompagnement.
— Il faut leur offrir un accompagnement et non de l’argent.

Le parallélisme que vous proposez entre « d’un accompagnement » et « d’argent » semble nettement moins formel.

J’apporterai une précision supplémentaire à l’excellente réponse de Joëlle :
Vous ne direz pas « Ce n’est pas d’argent qu’ont besoin eux  » N’est-ce pas ?
Vous direz plutôt :
Ce n’est pas d’argent qu’ils ont besoin –> Ce n’est pas d’argent que ces gens ont besoin, mais d’un accompagnement psychologique.