a) question ne peut être COD du verbe être, le verbe être n’accepte pas de COD,
c’est : présentatif / question : sujet réel

votre b) est tout bon

la question que je me suis posée.
Ici une seule proposition subordonnée mais la principale est incomplète en effet puisqu’il n’y a pas de verbe.
Le COD du verbe est « que » qui renvoie à l’antécédent « la question ».

C’est la question : proposition principale
C’est est un présentatif mais il est analysable : cela est  – la question étant attribut du sujet cela (cela est ici un pronom qui reprend un segment antérieur du texte)

que je me suis posée : proposition relative (que a pour antécédent question)

Bonsoir Joelle, merci pour votre réponse, j’y vois plus clair !

Si on part du principe qu’il s’agit d’un présentatif simple (c’est X) et non d’un présentatif complexe (c’est X que).

1) La question que je me suis posée.
= GN (déterminant + nom-noyau + relative).
= Le groupe entier a une fonction syntaxique dans la phrase. C’est un complément régime du présentatif (« c’est »).

1b
Vous pensez que dans la proposition « je me pose une question » le verbe est « se poser », et dans ce cas il est artificiel d’analyser le pronom « me », mais dès que vous aurez remarqué qu’il s’agit d’une construction pronominale réfléchie (je lui ai posé, je leur ai posé, je me suis posé une question), il sera plus rigoureux de dire qu’on a simplement le verbe « poser », et que les pronoms « lui », « leur », « me », sont des COI.
Donc : pose = verbe ; je = sujet ; me = COI ; une question = COD
Et dans la proposition relative « que je me suis posée » : suis posée = verbe au passé composé ; je = sujet ; que = COD ; me = COI

2
« La question que je me suis posée » est un groupe nominal, comme par exemple « la question », ou « la question suivante », ou « la question du jour »…
« La question » est le noyau, avec son déterminant, de ce groupe nominal, et « que je me suis posée » est un complément du nom, ou plus largement une expansion du nom si on souhaite réserver l’expression ‘complément du nom’ aux seuls compléments introduits par une préposition. Cette expansion du nom peut être appelée proposition relative complément de l’antécédent « question ». Et comme en 1b, le COD du verbe « poser » est « que ».

1a
Que signifie « c’est » ?

Si votre phrase signifie « voilà la bonne question », « voilà la question que je me suis posée », c’est-à-dire à une phrase sans verbe, contentez-vous d’y voir une formule présentative.
Vous pouvez considérer que la base de la phrase est le présentatif, qui a en quelque sorte valeur de proposition principale : « voilà ma question » = « c’est ma question » = « je vous présente ma question ». Et que « la question que je me suis posée » est le complément du présentatif « c’est ».

Si votre phrase peut être précisée en « pourquoi vivre ? c’est la question que je me suis posée », c’est-à-dire si vous pensez identifier très clairement un antécédent au pronom « ce », alors vous pouvez être tenté de dire que « ce » est le sujet de la phrase, et que « la question que je me suis posée » est son attribut (non pas son COD comme vous l’avez écrit). Mais est-ce sémantiquement vrai ?
Dans « le meilleur, c’est Paul », qui signifie « Paul est le meilleur », « Paul » n’est pas un attribut de « ce » mis pour « le meilleur », c’est même carrément l’inverse.
Dans notre phrase le sens est-il vraiment « pourquoi vivre est ma question », et non « ma question est pourquoi vivre » ? Le verbe « être » de « c’est » est-il ici vraiment attributif ?
Renoncez à analyser les présentatifs en termes de sujet + verbe + attribut.
Dites plus simplement et sans erreur : présentatif + complément du présentatif.

Il existe cependant des « c’est » analysables comme formules attributives.
Par exemple dans « travailler, c’est difficile », qui signifie clairement « travailler est difficile », le pronom « ce » a pour antécédent « travailler », et est suivi du verbe attributif « être » et de l’attribut « difficile ».
Mais votre phrase n’est pas construite sur ce principe.

Il existe aussi une construction avec « c’est » consistant à mettre en avant un terme de la phrase, mais il faut pour cela que le terme mis en avant soit bien défini et déjà actualisé. Par exemple, sur la base de « j’ai posé cette question hier », on peut construire « c’est moi qui ai posé cette question hier », « c’est hier que j’ai posé cette question », ou « c’est cette question que j’ai posée hier ». Et là encore, il faudra renoncer à voir un sujet dans « ce », renoncer à toute notion d’attribut, et même si possible à la notion de proposition relative. On devrait aussi éviter de parler ici de présentatif à propos de « c’est », car c’est une simple formule de mise en exergue d’un des éléments existants de la phrase.
Mais votre phrase n’est pas construite sur ce principe.