COD ? COI ? Autre ?

Bonjour, voici une phrase sur laquelle je dois travailler et  qui me pose problème :

« J’achète à la crémière du lait et du beurre pour préparer mon prochain gâteau. »

Je m’interroge sur la classe grammaticale de « à la crémière ».  Ma première pensée fut que ce soit un Complément d’Objet Indirect, puisque l’on m’a toujours appris qu’il était facilement repérable grâce aux questions « à qui ? », « à quoi ? ».
J’achète à qui ? à la crémière.

Pourtant, on m’a également toujours appris qu’un C.O.I n’était ni supprimable, ni déplaçable, car il participe au sens de la phrase.
On, il me semble que l’on peut supprimer « à la crémière » : « J’achète du lait et du beurre pour préparer mon prochain gâteau. » La phrase garde du sens.

Je pense donc être parti sur une mauvaise piste. Quelqu’un pourrait-il m’éclairer sur la fonction de ce groupe de mots ?
Merci d’avance.