Proche est un adjectif.Un adjectif au superlatif relatif est toujours précédé de le plus quand la personne ou l’objet évoqués sont comparés à ce qu’ils sont ou étaient à un autre moment ou dans un autre lieu, c’est à dire lorsqu‘on les compare à eux-mêmes.

C’est le matin que la lumière est le plus belle.
C’est en Polynésie que Jeanne a été le plus heureuse.
En 1998 lors de la coupe du monde de football les Français ont été le plus forts.

Quand la personne ou l’objet dont on parle sont comparés à une autre personne ou à un autre objet, l’article s’accorde avec le nom.

Adèle est la plus jeune des élèves de cette classe.
Cette étude est la plus complète que j’aie jamais lue.
Jean est le plus fort de tous les concurrents.

Dans votre phrase, vous voulez sans doute comparer des personnes avec d’autres personnes : c’est mon amie la plus proche (plus proche que d’autres amis)==> donc, Parfois, il est difficile d’avouer à ceux qui nous sont les plus proches (ou : Parfois, il est difficile d’avouer à nos plus proches amis).

Si vous voulez comparer des personnes à elles-mêmes : C’est à cette époque qu’elle était le plus proche.