Tout ce que les entreprises d’État avaient à faire, c’était de suivre rigoureusement le plan annuel de production que leur donnait l’État.
Suivre est attribut  du sujet c’ (qui reprend la proposition : « tout ce que les entreprises d’État avaient à faire »)
L’infinitif attribut  présente ici une équivalence* avec le sujet et il faut l’introduire avec « de ».
*pensez à similitude égalité identité

L’infinitif  attribut n’est pas introduit quand il ne fait que caractériser le sujet.
Partir c’est mourir un peu  – ce n’est pas progresser ça !
Pour comprendre ce que signifie  « caractériser » : penser à l’adjectif : partir c’est lâche  – l’état dans lequel vous êtes est lymphatique.

Je sais que la différence est parfois difficile à saisir.
L’infinitif attribut

Comme son cousin ne, la préposition de est parfois explétive : elle n’ajoute rien ni au sens ni à la syntaxe.  Elle résulte de l’usage ou de certaines habitudes prosodiques qu’il est un peu vain de tenter d’analyser.
Dans ces cas, assez limités, on peut supprimer la préposition sans dommages :  Tout ce que les entreprises d’État avaient à faire, c’était (de) suivre […]
D’autres exemples :
– Plutôt souffrir que (de) mourir.
– Avoir une heure (de) libre
– Il y  a déjà des amandiers (de) fleuris dans les jardins.