On peut dire les deux.

Cela dépend de la fontaine. Si la fontaine a un bord relevé, il s’agit d’un rebord. Sinon, il s’agit d’un simple bord.

Pour me faire mieux comprendre, si nécessaire : Une chaise a un bord, une table de billard a un rebord.

On peut dire aussi s’asseoir sur la bordure, la margelle d’une fontaine.