On utilise ‘avec’ si c’est un moyen nécessaire, et ‘à l’aide de’ seulement si c’est un moyen accessoire. L’aide ne vient qu’en appui, jamais comme condition.
On convainc quelqu’un avec des arguments, on plante un clou avec un marteau, on coud avec une aiguille.
On peut chercher une nuance à l’aide d’un dictionnaire.

Bonsoir Brad.

En fait, il me semble qu’il y a très peu de situations où avec  et à l’aide de  sont interchangeables. On pourra dire indifféremment : « Je vais planter ce clou avec un marteau » ou (mieux) « à l’aide d’un marteau ». Mais, dans toutes les autres acceptions où avec est employé, à l’aide de ne conviendrait pas :
« Je suis parti en vacances avec untel », « on ne sait pas à quoi s’en tenir avec untel », « Rome était en guerre avec Carthage » (exemple du CNRTL), etc.