Votre phrase :
« Au cours du millénaire qui suivit, une espèce prit majoritairement leur place.  Étonnament, les poules devinrent d’incroyables bêtes intelligentes. Non pas le sens dans lequel leur vie sociale serait améliorée, puisqu’elles n’avaient rien à envier, mais plutôt dans le sens qu’elles pouvaient désormais être en mesure d’utiliser les mêmes outils que leurs ancêtres à deux jambes et deux bras. « 

Plusieurs problèmes dans votre phrase Lucas :
O « étonnamment » avec deux « m ».
O « les poules devinrent des bêtes incroyablement intelligentes  » ce qui est incroyable ça n’est pas qu’elles deviennent des bêtes,  c’est qu’elles soient devenues intelligentes
O « Non pas le sens dans lequel  » est un peu du charabia, et ne se dit pas. On dira plutôt « Non pas que leur vie sociale en était améliorée » serait un peu mieux, notamment pour respecter la concordance des temps mais je vous suggère également :  Leur vie sociale n’en était pas pour autant améliorée.
De plus, je ne comprends pas votre argument « puisqu’elles n’avaient rien à envier« , d’ailleurs on dirait plutôt « n’avaient rien à envier à personne / aux autres« . Mais une vie sociale peut être améliorée, qu’on envie les autres ou pas.
O « elles pouvaient être en mesure » est un pléonasme. On dira plutôt : Mais plutôt dans le sens où / du fait qu‘elles pouvaient désormais utiliser / qu’elles étaient désormais en mesure d’utiliser…

Bonjour,
Si vous voulez recourir absolument au mot « sens », vous pouvez écrire : non pas dans le sens/en raison d’une amélioration de leur vie sociale, puisqu’elles n’avaient rien à envier, mais plutôt parce qu’elles pourraient désormais être en mesure d’utiliser les mêmes outils que leurs ancêtres à deux jambes et deux bras.

Ou alors utilisez la conjonction « que » : non pas que leur vie sociale serait améliorée, puisqu’elles n’avaient rien à envier, mais parce qu’elles pourraient désormais être en mesure d’utiliser les mêmes outils que leurs ancêtres à deux jambes et deux bras.

Pour expliquer, pour justifier, pour dire selon quel critère ou en quoi une chose est vraie, l’expression dans le sens que est correcte pour introduire une proposition explicative :
— Non pas dans le sens que leur vie sociale se développait, mais plutôt dans le sens qu’elles utilisaient des outils.
Vous avez eu raison de renoncer à cette construction fréquente mais incorrecte syntaxiquement :
— Non pas dans le sens où leur vie sociale se développait, mais plutôt dans le sens où elles utilisaient des outils.
En effet, pour joindre « le sens » à « elles font », il ne faut pas un pronom relatif introduisant une proposition relative, mais une conjonction de subordination introduisant une proposition complétive.
La variante au sens que pour remplacer dans le sens que est également valide, avec une probable nuance. Rapprochez ces constructions de en cela que, ou en ce sens que.