Bonjour ou bonsoir,

Elle est fidèle à l’enfant de bonne famille qu’on lui a appris à être.

le pronom relatif qu’  ayant pour antécédent l’enfant de bonne famille est attribut du sujet du groupe infinitif à être.
Le C.O.D de a appris est tout simplement le groupe infinitif à être : on lui a appris quoi ? à être !
On lui a appris à être = On le lui a appris !

De ce fait, pouf, pas d’accord (vu que le C.O.D est neutre !).

La réponse de Max est tout à fait juste sur le principe d’accord, mais un pinailleur pourrait argüer que le genre grammatical de enfant n’est pas précisé et qu’on peut très bien le lire comme féminin (une enfant) puisqu’il s’agit d’une femme.
Par ailleurs, pour le sens , on est plutôt fidèle à l’image de l’enfant qu’à l’enfant lui-même. Mais c’est une question stylistique. Suggestion si vous êtes la rédactrice : Elle est fidèle à l’image d’enfant de bonne famille qu’on lui a inculquée.