En théorie, le conditionnel est déconseillé dans un courrier, car il envoie un message négatif, notamment pour le verbe « souhaiter » :
Je souhaiterais   –> Message négatif : Vous n’osez pas exprimer fermement vos souhaits  –> On risque de ne pas trouver vos souhaits très importants.

Si vous trouvez l’indicatif présent un peu trop direct, vous pouvez l’adoucir, tout en continuant à affirmer vos souhaits.
Ma suggestion :
Je vous confirme (par ce courrier) que je souhaite que mon cas soit exposé / que mon affaire soit traitée dès demain, dans la mesure du possible.