il a atteint les objectifs dans le temps qu’il s’était fixé.
De quelque façon qu’on comprenne cette phrase, le pronom relatif « que » a forcément pour antécédent « temps », c’est à dire le nom qui le précède.
« Dans le temps » est un complément déplaçable du verbe « atteindre » et le sens exclut qu’il soit un complément du nom « objectifs » . 
Si on veut exprimer l’idée que ce sont les objectifs qui sont fixés, déterminés (et non le temps) :     il a atteint les objectifs qu’il s’était fixés dans les temps. Cette fois, le nom qui précède le pronom relatif « que » est « objectifs ».

Bonjour,
Oui vous avez raison, dans la phrase initiale telle qu’elle construite fixé ne peut se rapporter qu’à temps.
Pour faire se rapporter fixé à objectifs, il faut nécessairement déplacer quelque chose, par exemple : « Il n’est pas mécontent de lui, car il a atteint dans les temps les objectifs qu’il s’était fixés. »

Bonjour,

D’accord avec vous. Si votre commanditaire veut absolument que « fixés » se rapporte à « objectifs », tout en gardant la même structure de phrase, il faut qu’il l’indique par un pronom : « car il a atteint les objectifs dans le temps qu’il se les était fixés ».
La tournure que vous lui avez proposée est bien meilleure…

Moi je comprends bien votre client. Il vit au milieu de gens qui se fixent des objectifs-dans-le-temps. Ses collègues se sont fixé des objectifs-dans-le-temps. Son patron lui a fixé des objectifs-dans-le-temps. Il avait des objectifs-dans-le-temps à respecter, et il a rempli ses objectifs-dans-le-temps. Il a atteint les objectifs-dans-le-temps qu’il s’était fixés. C’est aussi simple que cela.

Maintenant, vous pouvez lui dire que cette expression est bête, mais pour lui elle représente vraiment quelque chose, on lui a donné un horizon, un objectif-dans-le-temps, il l’a bien identifié, et ne vous avisez pas de lui dire que ça n’a aucun sens, et qu’on ne peut pas atteindre un objectif-dans-le-temps, qu’on peut certes atteindre des objectifs, qu’on peut les atteindre dans le temps imparti, mais que ça n’existe pas, d’atteindre un objectif-dans-le-temps. Et pourtant, à un certain niveau d’abstraction, on finit par comprendre. C’est du Lewis Carroll. Enfin bon, c’est le genre de personnes qu’on rencontre à l’armée, dans les écoles de commerce, et à l’ENA. Ce sont des gens qui raisonnent sur des paramètres, des notions comptables, des abstractions, qui ont même oublié le sens du mot « temps » dans une phrase.
Mais… même les grammairiens ont un prix. S’il vous paye pour accorder les participes passés avec les objectifs-dans-le-temps, accordez. N’en faites pas une affaire de principe. Combien il paye pour que vous accordiez ?