J’appliquerais la règle de l’accord du verbe au singulier quand les sujets sont en gradation (ici, ascendante). ++> Puis s’ensuit une deuxième tournée puis une troisième.

J’éviterais les deux « puis » ici. 

De toutes façons, vous pouvez écrire  : « Ensuite, s’ensuit une deuxième tournée, puis une troisième.

Il y a un séquençage chronologique d’actions avec le mot « puis » qui n’existe pas forcément avec le mot « et ». Utilisez la virgule où elle est est nécessaire, et choisissez entre :
— Puis s’ensuit une deuxième tournée, puis une troisième. (on ne peut pas l’écrire sans virgule)
— Puis s’ensuivent une deuxième tournée(,) et une troisième. (la virgule est possible pour insister sur la séquence)
Dans la première version, deux « puis » à suivre expriment assez bien l’idée qu’on recommence après avoir recommencé, ce qui peut effectivement être un procédé littéraire pour décrire un processus méthodique de saoulerie.
Pour dire les choses plus formellement : « et » permet d’enchaîner les sujets, les verbes, ou les COD, tandis que « puis » enchaîne les actions, les verbes (y compris les verbes non exprimés). Le mot « puis », contrairement à « et », induit une nouvelle action, et ne permet donc pas de mutualiser le premier verbe.