Elle tombait dru : ici l’adjectif modifie le sens du verbe et il est donc adverbe, invariable.

Les deux sont a priori possibles.
Si vous pouvez retirer le substantif, le mot joue un rôle d’adverbe : ça tombait fort, ça tombait dru.
Si vous pouvez retirer ou déplacer le verbe, le mot joue un rôle d’adjectif : une pluie drue tombait.
Avec « la pluie tombait dru », on ne peut pas être certain. Mais comme c’est très sec, le mot principal semble être le verbe, et il faut probablement un adverbe.
Si on ajoute une virgule, alors on a un adjectif : la pluie tombait, drue.
Si on ajoute un adjectif, alors on a deux adjectifs : la pluie tombait drue et froide.

On a des exemples par centaines en littérature (Google Books, 19e siècle) :
* la fiente tombait drue comme des flocons de neige
* la grêle des projectiles tombait drue et mortelle
* la neige tombait drue et silencieuse sur les campagnes
* ils reçurent sur leurs corps la pluie qui tombait drue
* la pluie, fouettée par le vent, tombait drue et serrée sur les pavés tout ruisselants et piqués de mille étincelles
Dans tous ces cas, et c’est logique, il s’agit d’une caractéristique de ce qui tombe.

Donc si vous avez des choses à montrer, des impressions à évoquer, des sensations de chaleur, de consistance ou de silence, des images, des conséquences… privilégiez l’adjectif, beaucoup plus fort. Si vous voulez juste dire qu’il pleuvait beaucoup, contentez vous d’un sec « il pleuvait dru, la pluie tombait dru ». Quand la pluie tombe dru, c’est la mécanique d’un phénomène météorologique. Quand elle tombe drue, vous la sentez pincer la peau de vos joues.