Bonsoir.
Pour l’Académie, il n’ y a pas de différence.
En règle générale cependant, on utilise « à » quand il s’agit d’une action commencée qui se poursuit, et « de » quand il s’agit d’un mode de vie, d’un acte habituel.
Dans votre exemple, il pleut depuis quelques instants (ou plusieurs heures) sans interruption, et c’est encore le cas quand l’auteur parle. On dira : « la pluie continue à tomber« 
L’exemple type est « il continue à boire » (il a commencé par boire un premier verre et il en boit un deuxième…)
à la différence de « il continue de boire », car il s’agit d’une personne alcoolique qui boit très régulièrement, et poursuit son intoxication.
Cordialement