Grammaticalement les deux formes sont correctes et anciennes, mais finir l’emporte nettement dans l’usage moderne. Terminer s’utilise essentiellement de manière transitive directe (terminer son repas).
À noter, dans le même cas, la construction avec par : «  [Socrate] termine par conclure qu’ils s’en iront les uns dans un Tartare dont ils ne reviendront pas, d’autres dans un Paradis dont ils ne sortiront plus . » (P. Leroux, Humanité, 1840, p. 352).