Bonsoir à tous!

La symétrie doit bien évidemment être respectée.

La Banque de dépannage linguistique rappelle cette règle et donne de nombreux exemples :
« La construction tant… que est synonyme de aussi bien… que. Cette construction peut établir une comparaison. Dans ce cas, il faut que la structure de la phrase respecte la symétrie de cette comparaison. La répétition d’un élément est souvent nécessaire pour obtenir la symétrie en question.

Notons que la notion de symétrie implique de coordonner deux éléments ayant la même nature et la même fonction grammaticale.

Exemples :

 – Cette formation aborde tant les aspects théoriques que les aspects techniques. [Ici, « les aspects théoriques répond à – est le symétrique de- « les aspects techniques ».]
(et non pas : Cette formation aborde tant les aspects théoriques que techniques.) [Ici, « techniques » ne répond pas à « les aspects théoriques ».]

Elle a raison tant sur le plan personnel que du point de vue professionnel.
(et non pas : Elle a raison tant sur le plan personnel que professionnel ni Elle a raison sur le plan tant personnel que du point de vue professionnel) […] »

Applications à votre cas

« … sont des compétences recherchées tant par le secteur public que privé. »
« Privé »  n’est pas le symétrique de « par le secteur public ». C’est « par le secteur privé » qui  serait ce symétrique précis. dès lors, … sont des compétences recherchées tant par le secteur public que par le secteur privé  serait correct. 

De même, et pour la même raison (absence de symétrie), votre seconde phrase est également incorrecte :

« … sont des compétences recherchées tant par les secteurs public que privé. ». Pas de symétrie entre « par les secteurs public » et « privé » ; même si l’on admet que « les secteurs » est ellipsé devant « privé », la « phrase » ne serait pas correcte et conforme à ce que vous voulez dire  : °… tant par les secteurs public que les secteurs privés ».  N.B. Dans votre énoncé, on ne peut pas considérer  que les secteurs soit  en facteur commun à « public » et à « privé », comme il semble que vous l’ayez voulu (et comme cela serait le cas si on avait « les secteurs public et privé »).

Pour ma part, j’admettrais, à la rigueur,  l’ellipse de « secteur » dans cette construction :  … tant par le secteur public que par le privé. (« Secteur » est ici sous-entendu.)

Bonne soirée !