Formalisation du problème :
La fortune de cet homme permet de ranger cet homme parmi les nantis ; cet homme se nomme Paul.
Le syntagme « cet homme » intervient dans la première proposition d’une part en tant que complément du nom, d’autre part en tant que complément d’objet ; puis il est repris en tant que sujet d’une autre proposition.
Vous souhaitez n’utiliser « cet homme » qu’une seule fois dans la phrase en lui donnant trois rôles syntaxiques différents. Pourquoi pas, puisque Noël approche.

Plus précisément, bien que vous n’écriviez pas entièrement votre phrase, on devine que vous avez décidé d’articuler entre eux les deux premiers rôles syntaxiques pour obtenir un syntagme sujet du dernier verbe, syntagme commençant donc par « cet homme » : cet homme, bla-bla-bla, se nomme Paul.

Un relatif ne doit servir qu’une fois dans la phrase, avec un seul rôle, et toutes les autres relations doivent rester marquées autrement dans la phrase finale, selon qu’on conservera « cet homme » comme complément d’objet ou comme complément du nom.
Pour éviter la répétition de « cet homme », on peut donc arranger la phrase de base de deux façons différentes, avec un pronom complément d’objet ou avec un déterminant possessif :
1. La fortune de cet homme permet de le ranger parmi les nantis ; il se nomme Paul.
2. Sa fortune permet de ranger cet homme parmi les nantis ; il se nomme Paul.
Puis, en introduisant un pronom relatif pour faire la jonction avec la deuxième proposition, deux phrases sont possibles :
1. Cet homme, dont la fortune permet de le ranger parmi les nantis, se nomme Paul.
2. Cet homme, que sa fortune permet de ranger parmi les nantis, se nomme Paul.
Les trois rôles syntaxiques sont soulignés dans ces phrases.

C’est une question que j’ai déjà posée ici le 21 novembre, mais aucune des quatre réponses ne m’ayant semblé(e) correcte, et mon livre de grammaire n’abordant pas la question, je vous donne mon avis personnel. Le choix entre les deux phrases que je vous propose n’est donc validé par aucun grand grammairien, c’est simplement mon analyse.