On emploie plutôt le verbe « laver » pour les cheveux. Le verbe comporte l’idée d’un produit nettoyant, ce qui n’est pas forcément le cas avec le verbe « nettoyer ».

Le futur est en effet un moyen d’atténuer les injonctions et participe donc de la modalité de politesse.
Passez à la salle de bain : impératif – ordre « brut ».
Et puis des gradations dans la politesse
Je vous demande de passer à la salle de bain : on utilise le discours indirect
Je vous demande de bien vouloir passer à la salle de bain : on utilise un verbe modalisateur accompagné d’un adverbe
Je vous demanderai de (bien vouloir) passer à la salle de bain  : on ajoute encore le futur

Le conditionnel ne convient pas; on l’entend bien avec le sujet « nous »: nous vous demanderions de bien vouloir passer à la salle de bain, ou alors il faudrait compléter avec une subordonnée : nous vous demanderions de passer à la salle de bain si vous le voulez bien . Mais cette formulation est quand même un peu trop sophistiquée dans les situations ordinaires.