Il sera rassuré et moins stressé une fois qu’il aurait eu tous ces papiers à déposer.

– « Avoir à + infinitif » signifie « devoir + infinitif » > il a des papiers à déposer = il doit déposer des papiers
Si bien qu’on voit mal le lien logique entre les deux propositions : il sera rassuré et il devra déposer les papiers

>> Il me semble que vous voulez dire : il sera rassuré, et moins tendu après avoir déposé tous ces papiers
ou encore : il sera rassuré, et moins tendu après n’avoir plus qu’à déposer  tous ces papiers

– En effet on peut toujours utiliser le futur antérieur dans la subordonnée  : Il sera rassuré, et moins tendu, quand il aura déposé tous ces papiers/ quand il n’aura plus qu’à déposer tous ces papiers
mais généralement, quand le sujet est le même dans les deux propositions, on préfère l’infinitif.