Les deux constructions sont valables  (cf Tlfi):
mettre qqc à + inf.
J’ai mis la bouteille à refroidir dans le seau (Aymé,1933)
mettre + inf. + qqc.
Il mit refroidir mon vin un peu chaud dans l’eau frigide de sa claire fontaine (Chateaubriand,1848)

Le Tlfi  cite un grammairien qui considère la construction directe plus élégante. Cependant, alors que la construction avec la préposition /à/ permet l’interversion des compléments (Il met à cuire la tarte. / Il met la tarte à cuire.), la construction directe où mettre tient le rôle d’un semi-auxiliaire, ne le permet pas (Il met cuire la tarte.)