Au présent-dans-le-passé considéré subjectivement à l’imparfait depuis le passé, on peut, comme le disent Tara et Cathy Lévy, conserver des indications de temps normalement valables au présent. On est « dans la tête de » :
— Il passe un diplôme : à présent il est prêt à travailler.
— Il passa un diplôme : à présent il était prêt à travailler.
Mais il n’y a pas d’adverbe indiquant le présent-dans-le-passé quand on raconte objectivement au passé simple.
— Borglus tue Hargloub : à présent il est roi.
— Borglus tua Hargloub : à présent il fut roi. (???)
On est obligé d’expliquer :
— Borglus tua Hargloub : à cet instant et durant les années qui suivirent, il fut roi ; à partir de ce moment, il fut roi ; dès lors il fut roi…

Objectivement vu du présent, le présent dans le passé n’existe pas de façon spécifique, c’est juste du passé. Quand on écrit « il arriva », c’est déjà du présent dans le passé, et il n’est nul besoin d’un adverbe spécifique pour dire « il arriva à ce moment-là ». Il y a des conventions pour dire « il était arrivé la veille » (plus-que-parfait et adverbe anaphorique), ou « il arriverait le lendemain » (conditionnel présent et adverbe anaphorique), mais rien de particulier pour « il arriva là exactement au moment où il arriva et dont je parle ». Si on veut qualifier le moment par un adverbe de temps, libre à nous de le faire, mais il n’existe pas particulièrement d’adverbe anaphorique de simultanéité signifiant « là précisément à ce moment présent dans le passé ».
Tout au plus peut-on dire que l’adverbe « aujourd’hui » se remplace par « ce jour-là » :
— Il arrive aujourd’hui ; il pleut aujourd’hui.
— Il arriva ce jour-là ; il pleuvait ce jour-là.

On peut malgré tout gloser sur les sens des adverbes et faire des suggestions, en gardant à l’esprit qu’il ne s’agit pas ci-dessous d’équivalences.

Les adverbes comme « maintenant ».
* Quand « maintenant » veut dire « là maintenant », et qu’au présent on peut le remplacer par « à l’instant », alors « à cet instant » (ou « à cet instant-là » pour insister) convient au passé simple :
— Il comprend maintenant que la guerre est finie.
— Il comprit à cet instant que la guerre était finie. (et non il comprit maintenant)
* Quand « maintenant » veut dire « à partir de maintenant », et qu’au présent on peut le remplacer par « désormais », alors « désormais » convient également au passé simple :
— Il s’est évadé et il vit maintenant libre.
— Il s’évada et il vécut désormais libre. (et non il vécut maintenant libre)
* Je traiterais l’adverbe « à présent » comme l’adverbe « maintenant », mais si vous voyez des nuances, c’est à vous chercher les bons mots. J’ai suggéré plus haut « dès lors » qui fonctionne bien dans de nombreuses situations.

Des adverbes comme « actuellement » ou « en ce moment » sont des adverbes marquant une période et non une date. On les transpose au passé avec un imparfait.
* « Actuellement » peut se remplacer par « alors » + imparfait :
— Il est actuellement au chômage.
— Il était alors au chômage. (et non il était actuellement au chômage)
* « En ce moment » peut se remplacer par « à cette époque » ou « à ce moment-là »+ imparfait :
— En ce moment, les prix augmentent.
— A cette époque, les prix augmentaient.
— A ce moment-là, les prix augmentaient. (et non en ce moment les prix augmentaient)

Des adverbes comme « pour le moment » et « pour l’instant », ne se conçoivent selon moi que subjectivement côté narrateur, et n’ont pas d’équivalent pour parler d’un autre moment que le présent.
— Il vit pour le moment en Italie.
— « Il vit pour le moment en Italie », répondis-je.
— Il vivait pour le moment en Italie… (? plutôt non)
— Il n’a pas d’autre idée pour l’instant.
— Il n’avait pas d’autre idée pour l’instant… (? plutôt non)
Selon que vous voulez insister sur l’aspect provisoire et conjecturel, sur un processus, sur une immédiateté, il faut reconstruire, et puiser parmi des dizaines d’adverbes ou autres compléments ; on ne parle pas de la même façon au présent et au passé. Exemples :
— Il vivait à cette époque provisoirement en Italie…
— Aucune autre idée ne lui venait dans l’immédiat…
— Aucune autre idée ne lui vint sur l’instant…

Pour exprimer toute une étendue de nuances de temps au passé, vous devez poursuivre vos recherches sur des sites de littérature plutôt que sur des sites de grammaire.