Générique et hyperonyme sont en effet synonymes, simplement je doute que ce soit le terme recherché par Victoryo, puisque dans son énumération figure le pronom il qui ne peut pas être hyperonyme ou hyponyme de chien ou d’animal.  De toute façon, même en excluant le pronom, il n’y a guère de sens à dire qu’il s’agit d’hyperonyme, puisque des deux termes donnés par Victoryo, si l’un (animal) est en effet l’hyperonyme de l’autre (chien), ce dernier est hyponyme d’animal.
Je pense donc que c’est bien le terme anaphore (qui peut éventuellement être un hyperonyme) qui correspond à la demande de V.

Je vais sortir promener Médor. Mon toutou adore se balader dans le parc. Il aime y courser les pigeons et autres piafs. Ce chien m’a été offert pour mon vingtième anniversaire par ma grand-mère qui en avait marre que je lui « emprunte » le sien trop souvent. Etc. »

(Tous les mots en gras sont des anaphores de Médor.)