Tout d’abord, la règle.

Le deux-centième (1/200) : ici, le numéral est employé comme nom, deux-centième est un nom, le trait d’union est de rigueur : 
le  « deux-centième ».
Je n’aurai jamais le deux-centième de sa patience.
Ici, centième est au singulier car il forme le nom composé  
« deux–centième » :
un « deux-centième ».
On a  la structure    article    +               nom
                                               le                   deux-centième

Les quatre centièmes (4/100) : ici, centièmes est un nom précédé d’un adjectif (numéral) (pensez à « les  jeunes  premiers » : les  cinq  centièmes).
Les cinq centièmes de la population ont été touchés.
Centième est au pluriel car c’est un nom précédé d’un adjectif, on accorde.
On a la structure          article        +         adjectif         +            nom
                                                    les                         quatre                  centièmes

Maintenant, essayons de comprendre, mathématiquement.

1 000 x 2/100 = 20 : on calcule ici les deux centièmes de mille [deux centièmes, soit  2/100], deux centièmes est une fraction, or pas de trait d’union dans les fractions, et centième  est au pluriel [les deux centièmes].

1 000 x 1/200 = 5 : ici, on calcule le deux-centième de mille [deux-centième, soit 1/200], deux-centième n‘est pas une fraction (c’est un nom composé), d’où la présence d’un trait d’union, et centième se met au singulier.

Enfin, une astuce :

Généralement, quand l’article qui précède est au singulier, il y a un trait d’union, et « centième » est au singulier.
Cette pandémie n’a pas même touché le cinq-centième de la population.
Ce qui est sûr, c’est que je n’aurai jamais le deux-centième de sa patience.
Le deux-centième de mille est égal à cinq.
Ils vendent ces articles au cinq-centième de leur prix.
Il faudrait que chacun consacre le deux-centième de son salaire à soutenir une œuvre.
Le deux-centième de sa fortune nous suffirait pour vivre jusqu’à la fin de nos jours.
Vous faites généreusement don du cinq-centième de votre salaire aux bonnes œuvres.
Il faut bien avoir à l’esprit que « deux-centième », par exemple, est un nom.

Généralement, quand l’article qui précède est au pluriel, il n’y a pas de trait d’union, et « centième » est au pluriel.
Calculer les deux centièmes de mille n’est pas difficile, il faut répondre vingt.
Ce candidat n’a rassemblé sur son nom que deux centièmes des votants (2/100).
Les cinq dixièmes de la population ont été touchés.
Que pourrions-nous faire avec les trois centièmes de cette somme ?
Elle met de côté les deux dixièmes de ce qu’elle gagne.
Avec seulement deux centièmes des votants dans son camp, ce candidat n’a aucune chance.
Il faut bien avoir à l’esprit que « quatre centièmes », par exemple, est une fraction, d’où l’absence de trait d’union, seul « centièmes » est un nom.

Un petit mot sur « deux cents » et sur « le deux centième candidat » : jamais de trait d’union.
C’est aujourd’hui la deux centième représentation de cette pièce de théâtre.
(Exemples tirés du Projet Voltaire)