L’adverbe est là pour un verbe, un adjectif ou un autre adverbe.
L’adverbe « haut » est généralement là pour le verbe.
Et c’est le cas ici : j’ai mis la barre haut .
La preuve ? comme tout adverbe*, il est déplaçable : j’ai mis haut la barre. La barre, je l’ai mise haut.
Si c’était un adjectif, il resterait près du nom, après l’article : C’est une barre haute, une haute barre.
Autre preuve  ?  « mettre haut »  peut être  remplacé par « surélever », » rehausser »; il s’oppose à mettre bas**, « abaisser ».

*non pas absolument tous mais simplifions
**attention « mettre bas » signifie aussi accoucher!