il n’a pas trouvé mieux que de l’avertir – il n’a pas trouvé mieux que l’avertir
C’est le « de » qui est facultatif, pas le « que ».
Le que est nécessaire parce qu’il y a comparaison.  Le premier terme de la comparaison est ici sous-entendu :i l n’a pas trouvé à faire mieux que de l’avertir.

L’adverbe « mieux » seul serait là pour modifier un verbe et se place avant ou après lui. : il aurait dû mieux l’avertir/ le soigner mieux/ mieux l’interroger/ le regarder mieux