Le trouble avec cet exemple provient d’une part du très mauvais choix de qualifier de possessifs les déterminants de cette catégorie, d’autre part de l’usage même du vocable possession qui ajoute à la confusion. On aurait pu parler de déterminants « pernominaux »  car il y a toujours un nom ou un pronom qui s’exprime au travers de mon, ton, son, etc., « qui en est contenu » et la relation n’exprime que rarement une véritable possession. Le terme possessif pourrait néanmoins signifier que ce type de déterminant « possède » en son sein un signifiant nominal.
Dans le contexte exposé, le substantif possession peut admettre deux compléments liés : *la possession de/par lui > sa possession, la possession des meubles/*de eux > leur possession. C’est alors la suite de l’énoncé qui détermine le choix du déterminant, d’une part pour éviter l’anacoluthe (l’apposition doit se rapporter au sujet qui suit), d’autre part pour éviter la redondance (le sujet qui suit étant explicite, le déterminant rend alors compte du nom/pronom lié implicite).

• Une fois en leur (des meubles) possession , il  (l’acquéreur) les installera.

• Une fois en sa (de l’acquéreur) possession, ils (les meubles) seront installés.