En principe, continuer à signifie prolonger l’exécution d’un acte commencé ou persister à être dans un état : elle a continué à travailler pendant six mois avant d’y renoncer.
Continuer de signifie faire une action, être dans un état sans qu’il ait d’interruption : il continue de boire malgré nos conseils.

Aujourd’hui, on ne fait guère la distinction sémantique. L’Académie française, elle-même, l’a abandonnée, elle donne comme exemples, dans son Dictionnaire : « Il faut continuer à travailler, la pluie continuait de tomber, le mal continuait de se répandre. », et par ailleurs : continuer à faire, à dire, de faire, de dire.
On peut donc utiliser de ou à indistinctement.

En revanche, aujourd’hui, on emploie l’une ou l’autre des prépositions pour des raisons d’euphonie ou pour éviter les hiatus :
Il continue de pleuvoir est souvent préféré à il continue à pleuvoir.
Elle continue d’aimer plutôt que elle continue « à aimer ».
Même blessé, au cours d’un match de football historique, Beckenbauer continua de jouer, plutôt que il « continua à » jouer.
Il continue à demander de l’argent à sa grand-mére, plutôt que il continue « de demander ».