Serais-je enfin devenu cet autre qu’on rêva que je fusse

Il y a dans cette phrase deux « que » de sens très différents.
qu‘on rêva : que est un pronom relatif. Il reprend le pronom « autre ». Le temps choisi est le passé (passé simple de l’indicatif)
L’indicatif donne une information sur un fait réel (il est effectif que « on » rêva que etc.

que je fusse : que est une conjonction de subordination et introduit une subordonnée conjonctive (COD ici).
Comme le verbe qui introduit cette subordonnée est « rêver » il demande le subjonctif.
Comme rêver est au passé il nous faut le subjonctif imparfait.

Le subjonctif du verbe être (fusse) marque un fait imaginé, non réalisé.

N’hésitez pas à poser des questions si mes explications ne vous semblent pas suffisamment claires.