En ce qui concerne votre exemple, une seule orthographe possible :
Puisque c’est « UN ou UNE », le verbe ne peut pas être au pluriel.
Puisqu’on hésite sur le genre, on accorde au masculin et il est donc préférable d’écrire le nom masculin en deuxième position  :
Une sœur ou un frère venait d’être vacciné.

En revanche, il nous manque le contexte pour confirmer que la tournure de cette phrase est correcte.
J’aurais plutôt écrit, par exemple :
Un de ses frères et sœurs venait de se faire vacciner.