C’est la mission que s’est donnée l’artiste .

Règle générale : Le PP s’accorde avec le C.O.D. (s’il existe). Pour le trouver; il faut 1° remplacer être par avoir pus 2° s se demander sur quel être ou chose portera l’action. ==>1° la mission que l’artiste s’est donnée  ==> la mission que l’artiste a donnée . 2° Qu’est-ce que l’artiste a donné ? ou L’artiste a donné quoi ? Réponse : que, pronom  relatif C.O.D. , mis pour la mission, qui est un nom fém. sing. ==> donnée.

J’ai ajouté le début du raisonnement, car il fait partie de la règle et que certains, ici  et ailleurs, ne savent pas pourquoi on passe d’être à avoir.