Dans la phrase « Merci pour vos recommandations qui m’ont permis d’obtenir ce poste », Il n’y a pas de COD.
« Obtenir » est introduit par la préposition « de », il est donc complément d’objet indirect (COI).

On pourrait modifier la phrase de la façon suivante:
« Merci pour vos recommandations qui ont permis à moi d’obtenir ce poste », on voit que le pronom personnel « moi » est introduit par la préposition « à ».
« m' » est donc aussi COI et non pas COD, il n’influe donc pas sur l’accord de « permis ».
« recommandations » est sujet, il ne conditionne donc pas non plus l’accord de « permis ».

Il n’y a donc pas de COD, permis est alors invariable, on écrira donc « … qui m’ont permis … »

De la même façon, le verbe à la forme pronominale « se permettre », ne peut pas avoir de COD, son participe passé sera donc invariable et on écrira:
« Elle s’est permis de venir » et non pas « elle s’est permise de venir.

Voici quelques liens pour approfondir:
http://www.francaisfacile.com/forum/lire.php?num=7&msg=72878&titre=Accord+participe+pass%E9+avec+avoir
http://www.francaisfacile.com/exercices/exercice-francais-2/exercice-francais-52090.php
http://www.francaisfacile.com/exercices/exercice-francais-2/exercice-francais-23353.php