Contrairement à une analyse éventuellement trop rapide, il ne s’agit pas là d’un problème euphonique…

Il y a bien deux formes grammaticales différentes :
–C’est le temps qui me manque !  signifie qu’il me manque du temps en général (qui se rapporte à temps et est sujet) ;
– Dix minutes, c‘est le temps qu’il me manque !  signifie qu’il me manque dix minutes (qu’ se rapporte à temps mais est complément).

Dans votre exemple, j’opterais clairement pour :
Pour le temps qu’il me reste à vivre, je vais devenir ton ami.
car l’expression s’emploie normalement avec la tournure impersonnelle (il me reste combien à vivre?)