Depuis sa création à la Révolution, la forme état civil semble s’écrire massivement sans majuscule et sans trait d’union. Il en va de même des composés (acte, officier, registre, statistiques, etc.).
Le nom état caractérise ici la situation des personnes et pas celle de l’État comme entité administrative centralisée. La majuscule n’est donc pas nécessaire.

PS Je complète concernant la suppression de l’article. La formulation « de l’état civil » est nettement plus courante dans les documents que « d’état civil ». Celle-ci se rencontre néanmoins de plus en plus, même dans les documents officiels.