« Il sera rassuré et moins stressé une fois qu’il aurait eu  tous ces papiers à deposer. »

Dans cette phrase, la concordance des temps n’est pas respectée, le conditionnel passé n’a rien à faire en face d’un futur de l’indicatif, et je suis bien d’accord avec vous, le futur antérieur de l’indicatif s’impose :
Il sera rassuré dès qu’il aura eu / obtenu tous ces papiers (qu’il doit déposer au bureau d’inscription)
Ou bien
Il ne serait rassuré que quand il les aurait obtenus.