Dans le cas que vous citez, il ne faut pas de majuscule car il s’agit d’un nom commun. L’article « le » papa de Léo, le montre.
Quand le nom est nom d’adresse (quand on s’adresse à la personne concernée) il est recommandé d’en mettre une. C’est vrai comme pour « Monsieur » ou « Maître » utilisés par exemple en formule d’appel dans une lettre.