Bonjour,
Je ne pense pas que ces trois verbes soient interchangeables. Ils ont une sémantique différente.

Persévérer a une connotation très positive. La persévérance est une qualité.
Il persévère dans ses études en faisant de gros efforts.

Persister est plus généraliste et remplace continuer, durer.
La neige va persister encore une semaine.

S’obstiner a une connotation négative. L’obstination est un défaut.
Il s’obstine à ne pas vouloir faire des efforts dans ses études.