Le cnrtl suggère que pour partir ou dormir tranquille, il n’y ait pas d’accord mais tous les auteurs ne pratiquent pas ainsi. Il y a un excellent article d’Ekablog sur ce point, je vous donnerai le lien plus tard.
Il me semble que tranquillement doit remplacer l’adjectif tranquille quand il s’applique à un verbe.

Continuez tranquillement ! Partez tranquillement !
Ce qui signifie que l’action est qualifiée.
S’il s’agit de qualifier des personnes, il faut accorder l’adjectif à celles-ci : partez tranquilles ! signifie partez avec l’esprit tranquille ou en étant tranquilles.

Bonne question : doit-on comprendre « nous pouvons dormir tranquillement » ou « nous pouvons dormir tranquillisés » ?
L’emploi du même mot comme adjectif attribut ou comme adverbe est assez courant et crée souvent des hésitations et des erreurs. Il n’est en effet pas toujours facile de savoir s’il se rapporte au verbe ou au nom. Lorsque les deux peuvent, comme ici, se concevoir, il faut raisonner autrement.
Comme chacun sait, beaucoup d’adverbes ont été formés en ajoutant la désinence latinisante -ment au féminin de l’adjectif (en latin mente est l’ablatif de mens, manière). Tranquillement égale donc « de manière tranquille ».
Lorsque les deux formes existent de manière différenciée, il est donc logique de les employer sélectivement. Le fait d’attribuer la fonction d’adverbe à l’adjectif est un relâchement qui peut se comprendre dans la langue familière ou orale, pas sur le principe. Dans certaines tournures, c’est même risible : bronzer idiot, voter utile ou louer solidaire sont des formules à la limite de la bêtise.
Lorsque l’adverbe est inexistant ou inusité, le problème se pose réellement et le doute peut s’installer : hautement ne s’est jamais vraiment popularisé et l’on dit parler haut ou mettre la barre haut avec valeur d’adverbe. Il n’existe heureusement que peu de mots de ce type (cf. brut, court, flambant, ivre, raide, serré).
En conclusion, ou les gens dorment tranquilles ou ils dorment tranquillement puisque l’adverbe existe couramment. Le panachage des deux versions montre qu’on n’a pas compris de quoi il s’agit.