Bonjour,

Les deux sont possibles. « notre » pour mettre l’accent sur les possesseurs dans leur individualité ; « nos » pour faire ressortir la pluralité de l’objet décrit.

À ma connaissance, chacun a sa propre carte d’identité et le pluriel s’impose naturellement pour plusieurs demandeurs identifiés comme dans votre citation. Le singulier peut engendrer selon le contexte des confusions. Par exemple, « je dois renouveler notre carte d’abonnement » efface la nuance entre abonnement individuel et collectif (par famille, par groupe). 
Je ne vois guère que le cas spécifique d’un nous impersonnel (comme dans les sentences ou les proverbes) pour justifier un emploi du singulier : « L’Administration nous laisse beaucoup de temps pour renouveler notre carte d’identité. »

PS Malgré sa présumée clarté, la langue française n’a pas d’outil pour distinguer simplement le sens du pluriel et du singulier derrière un adjectif possessif. Il y a des dizaines de questions sur ce site pour le confirmer. Si le contexte n’est pas suffisamment explicite, il est donc nécessaire d’ajouter un mot ou de reformuler pour clarifier : « Ils donnèrent leurs propositions » ne dit pas s’ils ont collectivement des propositions communes ou individuellement des propositions personnalisées. Il faut par exemple ajouter respectives dans le second cas. 

TLFI
J’ajoute que l’emploi au pluriel peut aussi prêter à confusion : « nos cartes d’identité » peut suggérer que les détenteurs possèdent chacun plusieurs cartes d’identité, bien que ce soit peu probable en pratique.

Le choix entre nos et notre aurait été possible – avec la nuance donnée par Dasmaka – si le sujet avait été nous : Nous devons entamer des démarches pour renouveler (chacun) notre carte / nos cartes (à nous tous), mais avec je, seul nos est possible : Je dois entamer des démarches pour renouveler ma carte + celle(s) de vous autres = nos cartes.