D’abord, à l’écrit, le point d’interrogation ne suffit pas pour une phrase interrogative : en fin de semaine, vous dirai-je/ est ce que je vous dirai .
comment il s’est comporté?
Mais je pense que l’erreur est ailleurs et que la phrase est une interrogative indirecte :
verbe introducteur : dire
mot interrogatif : comment
C’est donc un point simple qu’il faut.

La différence entre le passé composé et le futur antérieur est du même ordre que la différence entre le présent et le futur :
– les deux temps marquent ici une antériorité
– le passé composé, une antériorité par rapport au présent, le futur antérieur, une antériorité par rapport au futur
par conséquent : si le comportement de X a déjà eu lieu au moment où l’auteur de la phrase s’exprime, on utilise le passé composé et si le comportement de X est à venir, on utilise le futur antérieur.
exemple :
En fin de semaine je vous dirai .comment il s’est comporté hier.
En fin de semaine je vous dirai comment il se sera comporté pendant la semaine qui va venir.